Quadratura del cerchio

di Mario Pagni

Quadratura del cerchio

 

Un cerchio e la sua "quadratura", hanno la stessa area

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituisce un problema classico della geometria greca. In sostanza quello della quadratura del cerchio non è altro che un problema di matematica (più precisamente di geometria) il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

 

Storia e descrizione del problema

Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero  (infatti l'area del cerchio è  quindi un quadrato con area  deve avere lato pari a).

L'impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann proprio nel 1882.

La soluzione del problema della quadratura del cerchio con riga e compasso implicherebbe quindi trovare anche un valore algebrico per π il che si è dimostrato impossibile dopo il lavoro di Lindemann. Ciò non implica invece che sia impossibile costruire un quadrato la cui area sia per approssimazione molto da vicino quella del cerchio dato.

 

La "quadratura del cerchio" come metafora

 Come già ricordato nel 1882 Ferdinand von Lindemann pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco. Precedentemente egli aveva già dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, allora l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso ovvero attraverso risoluzione grafica sarebbe stato irrisolvibile. Fino a quel momento erano stati innumerevoli i tentativi della quadratura matematica del cerchio, tanto che l'espressione era (ed è) diventata sinonimo di un'impresa vana, senza speranza o priva di un significato concreto. In senso meramente letterario, l'espressione "quadratura del cerchio", viene infatti spesso usata per indicare la soluzione perfetta ad un dato problema (anche se, come abbiamo visto, non esiste).

In architettura quando una struttura nascente volutamente di forma rotonda, tipo le cupole, o le pseudo volte a calotta, è stato usato sia nello stile romanico che nello stile gotico, una sorta di sostegno proprio di forma quadrata. I pilastri dell’incrocio fra nave principale e transetto (per esempio di una chiesa),  partendo da terra, dovevano arrivare ad una certa altezza a sostenere proprio un telaio di forma quadrata. La trasmissione dei pesi della sovrastante volta circolare (o a calotta) sul quadrato stesso, avveniva attraverso la distribuzione e lo sfruttamento strutturale dei  cosiddetti pennacchi laterali “unghiati” che raccordavano in maniera egregia le due diverse figure geometriche. Questi pennacchi laterali posti ai quattro angoli del quadrato di sostegno, assumevano la forma triangolare per esercitare meglio la funzione di scarico dei pesi della cupola sulla pilastratura sottostante. Era  questo un modo intuitivo ma efficace dal punto di vista delle spinte che provenivano dall’alto, per contrapporsi alle medesime, fornendo alla struttura solidità e eleganza di risoluzione architettonica. I pennacchi sono stati da sempre usati anche in antico per risolvere coperture del tipo a “Tholos” sia per l’architettura greca che per quella prima etrusca e poi romana con assoluta costante efficacia.

Copertura a calotta su pennacchi

In fondo pur non avendo risolto il problema suesposto della “quadratura del cerchio” era anche questo un “metodo” per far si che le due forme geometriche, trovassero un accordo strutturale fra loro. Dal punto di vista simbolico invece, non dimentichiamoci che da sempre il quadrato rappresenta la terra, mentre il cerchio sarebbe l’espressione della perfezione “divina”. La loro sovrapposizione che come sappiamo passa da altre figure geometriche quali esagono e ottagono, non può che avvenire quindi con una certa difficoltà, non solo di rappresentazione, ma anche come concetto simbolico di passaggio tra realtà terrena e trascendente.